Certains systèmes physiques sont si complexes qu'il est très difficile (voire impossible) de calculer de manière exacte leur comportement et leur évolution. Pour le faire, on utilise des modèles probabilistes dans lesquels le mouvement des particules peut conserver une forme de "mémoire" de son histoire passée. Mieux comprendre ces processus à mémoire permet de résoudre plus précisément certains problèmes dits de "premier passage" comme le temps nécessaire pour qu'une particule atteigne une cible, qu'une réaction chimique démarre ou qu'un événement rare se produise.

Un homme ivre quitte un bar et s'engage dans une rue parfaitement rectiligne pour rentrer chez lui. Sa maison se trouve quelques numéros plus loin. À chaque pas, il choisit aléatoirement d'aller à droite ou à gauche (avec, donc, une probabilité de 50% d’aller dans un sens ou un autre à chaque fois).

Dans ce problème à une dimension (le marcheur aléatoire ne peut qu’aller à droite ou à gauche), les mathématiques démontrent qu’avec suffisamment de temps, le marcheur ivre finira toujours par arriver chez lui. D’un point de vue mathématique, la probabilité qu’il atteigne un point situé à une distance finie de son point de départ est donc égale à 1, quelle que soit la distance entre le bar et sa maison.

« Ce problème du marcheur cherchant sa maison est équivalent à celui d’une molécule cherchant une autre pour réagir. » nous dit Thomas Guérin, chercheur CNRS au Laboratoire Ondes et Matière d'Aquitaine [3]1  (LOMA) à Bordeaux « Ce qui nous intéresse ici, ce n'est pas de savoir où le marcheur se trouvera en moyenne au bout d'un certain temps, mais combien de temps il lui faudra pour atteindre sa maison. Ou combien de temps vont mettre deux molécules pour se rencontrer. »

Ce problème dit de "1er passage" est loin d'être anecdotique. Il décrit aussi bien la rencontre entre deux molécules dans une cellule que l’évolution d'une population animale jusqu’à son extinction ou encore le franchissement d'une barrière énergétique pour qu’une réaction chimique se déclenche. Dans tous ces cas, l’analyse s'arrête dès que l’évènement recherché survient (une molécule trouve sa cible, une réaction démarre ou une population animale s'éteint). De ce temps dépendra la facilité de la réaction… ou l’effort qu’il faudra mettre à la préservation de l’espèce.

Exemple typique de problème de première rencontre. Ici sont simulées deux trajectoires de particules dans un volume. Elles s'arrêtent lorsque la rencontre a lieu. © Thomas Guerin 

De la complexité naît la mémoire

Dans un liquide simple (comme l'eau) le déplacement d'une molécule ou d’un grain de pollen est aléatoire, dirigé par les chocs des molécules voisines. Le temps de parcours de cette particule dans le liquide est principalement gouverné par la température et la viscosité du milieu. Dans ce genre de cas simple, les physiciens disposent d'outils théoriques solides pour décrire et caractériser les problèmes de première rencontre.

Mais dans des milieux comme le liquide intracellulaire, une particule d’intérêt (une molécule attachée à une longue chaîne polymère, par exemple) évolue dans un mélange complexe, peuplé de protéines, de polymères et d'autres structures microscopiques avec lesquels elle interagit en permanence.

Dans ce genre de milieux complexes, le mouvement des particules ne dépend plus uniquement de leur position actuelle. Il dépend également de leurs interactions avec leur environnement, lui-même modifié par les déplacements passés de la particule.

Pour décrire le comportement complexe de cette particule d’intérêt, on ajoutera, dans la description mathématique de son mouvement, un paramètre qui caractérise la "mémoire" que cette particule a de son chemin passé. Ce paramètre permet de faire des prévisions plus justes sur le temps qu’elle met à parcourir le milieu complexe où elle est plongée, sans plus avoir à calculer les interactions complexes avec l’environnement.

Attention, on ne parle pas ici de "mémoire" au sens cognitif du terme. Dans notre cas, un système possède une mémoire lorsque le fait de connaître sa position à un instant donné ne suffit plus à prévoir son évolution future et que pour prédire correctement son mouvement, il faut également tenir compte de ce qui s'est produit avant.

Comme disait le physicien néerlandais Nicolaas Van Kampen, spécialiste des processus stochastiques (où l’on suit l’évolution d’une variable aléatoire), « Les mouvements à mémoire sont la règle, et les mouvements sans mémoire l'exception ! ». Thomas Guérin rajoute : « Dans la pratique, on restreint souvent le calcul des temps de premier passage au cas "sans mémoire", qui est déjà très compliqué à traiter. Mais pour certains systèmes complexes, cette description simpliste n’est pas assez précise. Développer de nouveaux outils théoriques capables de traiter ces problèmes constitue l'objectif de notre projet. »
L'une des questions abordées par Thomas Guérin consiste à déterminer, lorsqu'une particule peut en rencontrer plusieurs dans un milieu liquide complexe, quelle cible sera atteinte en premier. 

Les expérimentations qui ont été menées à partir des nouveaux modèles développés ont montré que, dans certains fluides viscoélastiques, la présence de cette mémoire augmente significativement la probabilité qu'une particule atteigne une cible proche plutôt qu'une autre plus éloignée.

A . Schéma du dispositif expérimental développé pour suivre la trajectoire de particules dans un fluide viscoélastique B . Une photographie du liquide dans le dispositif C. Suivi d’une particule dans le temps
© Thomas Guérin

À terme, ces travaux pourraient contribuer à optimiser certaines réactions chimiques ou certains procédés de transport moléculaire en jouant à la fois sur la géométrie du système et sur les propriétés du milieu.
 

Des recherches aux nombreuses applications potentielles

Réactions chimiques, dynamique des protéines, matériaux complexes ou géophysique, beaucoup de phénomènes peuvent être décrits à l'aide d'outils mathématiques similaires.
En s'attaquant aux processus dits "à mémoire", les travaux de Mr Guérin contribuent à enrichir notre compréhension des systèmes complexes, depuis l'échelle de la molécule jusqu'à celle des phénomènes naturels.

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Ces recherches ont été financées en tout ou partie par l’Agence Nationale de la Recherche (ANR) au titre du projet « Premières rencontres en environnement complexe - ComplexEncounters ». Cette communication est réalisée et financée dans le cadre de l’appel à projets Sciences Avec et Pour la Société – Culture Scientifique Technique et Industrielle.