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Imaginez-vous sur un petit bateau, un beau jour d’été. Chaque seconde, des milliards de molécules d’eau interagissent avec la coque du navire et influencent sa direction et sa vitesse, pendant que d’innombrables réactions chimiques ont lieu entre les éléments présents dans l’eau et les matériaux de la coque.
Lorsqu’on veut les simuler, tous ces phénomènes physiques extrêmement complexes sont représentés sous la forme d’espaces mathématiques, dont le nombre de dimensions peut s’élever parfois jusqu’à plusieurs millions. Mais notre perception humaine du monde qui nous entoure ne nous permet de concevoir que trois dimensions au maximum. Pour explorer efficacement ces espaces multi-dimensionnels, on utilise des programmes qui s’y déplacent pas à pas, au hasard, en les parcourant les plus efficacement possible. L’amélioration de la rapidité et de l’efficacité de ces algorithmes dits « stochastiques », est un véritable sujet de recherche en soi.

Pour décrire l’état d’un système physique (un cristal, une réaction chimique, l’Univers peu après le Big Bang…), il est nécessaire de connaître différents paramètres comme la température, la pression ou la concentration de différents éléments chimiques. Et bien sûr, plus le phénomène à décrire est complexe, plus le nombre de paramètres sera important.
Chaque état du système peut être représenté comme un point dans un espace, possédant autant de dimensions que le nombre de variables utilisé pour le décrire. 

Explorer cet espace revient à faire des calculs mathématiques parmi toutes ces dimensions. Si ces équations peuvent être écrites, les résoudre analytiquement pour en tirer une solution exacte n’est pas toujours possible, surtout dans des espaces dont le nombre de dimensions est gigantesque. C’est pourquoi ont été développés, depuis le milieu du 20ème siècle, des « algorithmes d’échantillonnage », dont l’objectif est de parcourir, pas à pas, le gigantesque espace de tous les états possibles du système étudié. Comprendre le comportement global de ce système complexe nécessite donc d’optimiser ces algorithmes, afin de pouvoir explorer la totalité de ces espaces d’états avec une stratégie intelligente, rapide et efficace.

« Pour se représenter simplement ce que font ces algorithmes, » nous dit Manon Michel, physicienne et mathématicienne CNRS au Laboratoire de mathématiques Blaise Pascal1 « imaginez un jeu de colin-maillard. On vous place, les yeux bandés, dans une pièce et on vous demande de déterminer à tâtons la forme de la pièce et ce qu’elle contient, mais vous n’avez qu’un nombre de pas limité pour le faire. Il faut donc être le plus efficace possible. » 

De la même manière, pour explorer de vastes espaces mathématiques avec un grand nombre de dimensions, on développe des processus appelés « marches aléatoires », qui s’y déplacent pas à pas, au hasard, afin de les cartographier.
Mais encore faut-il le faire en un temps raisonnable. Améliorer leur efficacité constitue une part importante du travail de Manon Michel.

Monte Carlo et non-réversibilité

Une famille de tels algorithmes est appelée « Monte Carlo (MC) ». Ils ont été mis au point à Los Alamos, pendant la Seconde Guerre mondiale, au cours du développement de la bombe nucléaire américaine, pour modéliser les réactions nucléaires qui s’y produisent. Aujourd’hui, les MC peuvent être utilisés dans presque tous les domaines scientifiques.

En physique statistique et computationnelle, ces méthodes permettent, par exemple, de mieux prédire des interactions entre molécules. En cosmologie, elles servent à reconstruire l’évolution du champ de densité de l’Univers dans ses premiers instants. En physique des particules, elles améliorent les méthodes utilisées pour estimer les incertitudes sur les mesures expérimentales dans le grand accélérateur du Grand Collisionneur de Hadrons (Large Hadrons Collider, LHC) au CERN.

Dans tous ces domaines, ces algorithmes simulent des marches aléatoires à travers de vastes espaces mathématiques où, pour chaque pas, chaque déplacement proposé, sera accepté ou rejeté en fonction de certaines probabilités.

Illustration de marche aléatoire explorant, pas à pas, un espace (blanc) déterminé. © Manon Michel

« La plupart de ces algorithmes d’échantillonnage, comme on les appelle aussi, », nous explique Manon Michel, « reposent sur des marches aléatoires réversibles. Cela signifie que pour chaque déplacement qu’on va tenter de faire dans l’espace à explorer, il existe un déplacement inverse possible, plus ou moins probable. Mes travaux s’inscrivent dans une autre approche, fondée sur les marches aléatoires non réversibles. En rompant l’équilibre entre un déplacement et son inverse, l’algorithme acquiert une forme de directionnalité : les déplacements restent aléatoires, mais ils sont guidés, orientés par la structure de l’espace exploré. Cela aide grandement à l’explorer plus rapidement et de manière plus efficace. »

Une science du dialogue et de l’échange

Le parcours scientifique de Manon Michel se situe ainsi à la frontière de plusieurs communautés scientifiques, là où mathématiques et physique se rencontrent et se nourrissent mutuellement. Cette position singulière montre toute la fécondité des échanges entre ces disciplines, là où des recherches de mathématiques pures peuvent aussi aboutir à créer de puissants outils qui aident à mieux comprendre la physique de certains phénomènes complexes. 

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Ces recherches ont été financées en tout ou partie, par l’Agence nationale de la recherche (ANR) au titre du projet ANR-SuSa-AAPG2020. Cette communication est réalisée et financée dans le cadre de l’appel à projet Sciences Avec et Pour la Société - Culture Scientifique Technique et Industrielle pour les projets JCJC et PRC des appels à projets génériques 2021 (SAPS-CSTI-JCJ et PRC AAPG 20).