Les maths à la plage
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Les maths à la plage
Assis sur la plage, les pieds s’enfonçant dans le sable humide, nul ne se doute de la richesse physique de ce paysage en apparence si tranquille : création des vagues, érosion des rochers, infiltration de l’eau de mer dans les sols… Une réalité complexe que tentent de comprendre les scientifiques.
Trois projets du Programme et équipements prioritaires de recherche (PEPR)1 Maths-Vives [7] se sont penchés sur cet environnement aussi beau que critique. En effet, avec le changement climatique [8], les côtes subiront la montée des eaux, les phénomènes climatiques extrêmes comme les tsunamis [9] seront plus fréquents et l'érosion des côtes [10] va s’accélérer. Des disciplines comme la géophysique, l’océanographie et les mathématiques sont mobilisées afin de mettre en équations la dynamique de la plage et mieux penser l’aménagement des littoraux [11] de demain.
« Nous voulons apporter un éclairage pour les politiques. On ne se dit pas qu’on va prévoir, mais qu’on va mieux comprendre. Or mieux comprendre, c’est mieux décider », estime Didier Bresch, directeur de recherche CNRS à l’université Savoie Mont-Blanc2.
Anticiper les tsunamis
Cela fait plus de 200 ans que les scientifiques s’intéressent à la plage, et plus particulièrement à l’eau. Au XIXe siècle, physiciens et mathématiciens ont élaboré un système d’équations capable de décrire le mouvement global d’un fluide, de l’eau ou de l’air, par exemple. Désormais connues sous le nom de « Navier-Stokes [15] », ce sont des équations aux dérivées partielles, soit des outils mathématiques pour décrire « un phénomène en mouvement dans l’espace et le temps », poursuit le chercheur.
« La vraie dynamique de l’océan, ce sont les molécules d’eau qui se percutent. Mais, à notre échelle d’observation, plusieurs effets ne sont pas perceptibles, donc on les a gommés de ce modèle », explique Catherine Choquet, professeure en mathématiques à l’université de La Rochelle3. Impossible de décrire les interactions entre des milliards de molécules à l’échelle microscopique pour modéliser une vague. À la place, les équations de Navier-Stokes se concentrent sur ce qui a de l’importance pour dépeindre le phénomène tel qu’on le perçoit à l’échelle macroscopique.
Aujourd'hui encore, ces équations sont utilisées, notamment dans un contexte de changement climatique dans lequel les événements extrêmes risquent de devenir plus fréquents [17] et destructeurs. « L’impact qu’auront ces événements sur la société va augmenter, il devient encore plus important de comprendre les phénomènes qui les sous-tendent afin d’être capable de disposer d’outils de prévision pour les collectivités », assure David Lannes, directeur de recherche CNRS à l’université de Bordeaux4.
Le chercheur participe ainsi au projet Climaths du PEPR Maths-Vives, qui vise à mieux comprendre l’apparition et le comportement des vagues extrêmes en milieu côtier. Les motivations sont nombreuses : développer des outils de prédiction permettant aux collectivités de mieux gérer les risques (plan d'évacuations, règles d’urbanisme) ou sécuriser des installations offshore d’énergie renouvelable (éolien ou houlomoteur).
Or de nombreux phénomènes sont impliqués – depuis le couplage océan-atmosphère [18] à l’origine de la création des vagues jusqu’à la submersion d’une commune, en passant par la propagation de la houle. « Tous ces phénomènes sont complexes, on essaie d’éliminer les détails qui vont être moins utiles pour les applications », décrit David Lannes. Et ce, afin d’élaborer un modèle du phénomène suffisamment simple pour une utilisation pratique.
La science des châteaux de sable
La plage est le lieu où l’eau rencontre les grains de sable. Le comportement de l’eau est étudié de longue date, tout comme celui des grains de sable [19]. Mais ce milieu constitue une nouvelle source de complexité : « Les grains ne sont pas uniques et peuvent avoir des tailles, des formes et des propriétés de surface variées », rappelle Farhang Radjai, directeur de recherche CNRS à l’université de Montpellier5.
L’interaction entre ces mondes de l’eau et des grains est beaucoup moins connue. Pourtant, des propriétés étonnantes en émergent, comme la possibilité de construire des châteaux de sable avec du sable mouillé. « L’eau liquide colle les grains de sable entre eux, comme elle colle nos cheveux sur notre tête. On parle d’ailleurs de force capillaire », explique Farhang Radjai. Sur la plage, la capillarité s’ajoute aux autres forces en présence : l’hydrodynamique pour le comportement de l’eau et les frottements entre grains.
Farhang Radjai est l’un des coordinateurs du projet ComplexFlows, qui vise à décrire ce monde granulaire et humide. Ici, deux types de matériaux interagissent, les grains solides et l’eau liquide, ce qui rend la modélisation de leur comportement particulièrement délicate. « Si vous regardez un tas de sable mouillé, c’est de l’eau et du sable. On a des équations pour l’eau et d’autres pour le solide. Mais comment décrire le solide mouillé ? Et comment le système évolue-t-il quand la quantité d’eau augmente ou diminue ? », interroge Didier Bresch, également coordinateur du projet.
Il peut sembler anodin, voire anecdotique, de s’intéresser aux écoulements granulaires. Ils sont pourtant impliqués dans des phénomènes bien concrets qui transforment nos littoraux : l’érosion des rochers du fait des fortes pluies ou de l’attaque de la mer. « Avec ce projet, nous souhaitons mieux appréhender, même grossièrement, l’évolution du trait de côte », explique Didier Bresch. Autre objectif, suivre la tendance des plages à perdre leur sable, « car on pourrait croire que le sable est une source inépuisable, mais c’est un matériau assez rare », signale Farhang Radjai.
Sous la plage, l’eau salée
Mais la plage ce n’est pas seulement ce qu’on voit, il y a aussi ce qui nous échappe : l’infiltration de l’eau de mer dans les profondeurs, jusqu’aux nappes phréatiques. « Quand je suis arrivée à La Rochelle, j’ai vu que les habitants avaient dans leurs jardins des puits de captation d’eau claire pour alimenter le réseau d’eau, mais ne les utilisaient pas. En fait, leurs puits avaient été contaminés par de l’eau salée », raconte Catherine Choquet, porteuse du projet Hydraumath, qui étudie les interactions entre eau de mer et eau souterraine et leurs conséquences.
Le risque de salinisation des nappes phréatiques augmente l’été. « À force de puiser l’eau claire, l’eau salée remonte à la surface. Or une fois que la nappe phréatique est salée, le puits n’est plus exploitable », ajoute la chercheuse. Mieux comprendre cette dynamique c’est aussi trouver le bon rythme pour puiser l’eau des puits, en minimisant le risque.
Le problème, ici, c’est qu’une partie de l’interaction entre l’eau de mer et l’eau souterraine se produit à l’abri des regards, dans les profondeurs. « On est obligé de faire des mathématiques pour modéliser ce qu’on ne voit pas, expose Catherine Choquet. Car on ne peut pas transformer le sol en gruyère pour observer la nappe phréatique. » Ce qui complique la compréhension des moteurs de la salinisation ainsi que de l’impact des tempêtes et de la montée des eaux sur ce phénomène.
L’autre source de difficulté, ce sont les échelles de temps : le mouvement de l’océan est très rapide, tandis que l’infiltration de l’eau jusqu’à la nappe phréatique s’effectue très lentement. « Et puis, on se rend compte que l’eau de mer interagit avec l’eau en profondeur, là où on ne s’y attend pas. C’est le cas à Perpignan, où l’eau de mer interagit en profondeur alors qu’on s’attendait à ce que ce soit en surface. Il y a donc un passage qu’on ne connaît pas », souligne la chercheuse.
Entre modèles et terrains
« Jusqu'à récemment, pour mieux comprendre ces phénomènes, on faisait des tests en laboratoire. Mais cela ne permet pas toujours d’avoir une compréhension des mécanismes physiques et on ne peut pas attendre les catastrophes pour agir », souligne Farhang Radjai. Dans ces trois projets, la modélisation mathématique vient donc prendre le relais des expériences en laboratoire et des relevés de terrain (films, relevés de capteurs, photos, etc.) dans le but de mieux comprendre ces phénomènes complexes.
« Les données sont souvent lacunaires ; les mathématiques permettent alors de les compléter », explique Catherine Choquet. De plus en plus, les outils de l’intelligence artificielle [23] s’ajoutent aux outils statistiques pour analyser ces données.
De cette manière, les mathématiciennes et mathématiciens améliorent les modèles existants (ceux de Navier Stokes, ceux des écoulements souterrains, ceux des grains de sable…). La simulation informatique permet, par ailleurs, de les affiner. C’est le cas dans le projet ComplexFlows : simuler les frottements entre grains de sable peut aider à comprendre le comportement global de l’écoulement granulaire.
Mais les mathématiques seules ne suffisent pas. « Ce qui est important, dans ces projets, c’est de travailler en collaboration dès la formalisation du problème et, tout du long, d’essayer de bien comprendre les enjeux et le type de données dont on peut disposer, afin d’obtenir un modèle proche de la réalité physique », soutient David Lannes.
Didier Bresch abonde : « Les problématiques du PEPR sont très variées et complexes. Cela demande beaucoup de temps et des expertises vraiment différentes pour espérer aller un peu plus loin dans l’analyse de ces phénomènes. » La plage n’est finalement peut-être pas un endroit si tranquille…
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- 1. Les programmes et équipements prioritaires de recherche (PEPR) visent à construire ou consolider un leadership français dans des domaines scientifiques liés à une transformation technologique, économique, sociétale, sanitaire ou environnementale et considérés comme prioritaires au niveau national ou européen. Voir : https://anr.fr/en/france-2030/programmes-et-equipements-prioritaires-de-... [26]
- 2. Au sein du Laboratoire de mathématiques (unité CNRS/université Savoie Mont-Blanc).
- 3. Fédération mathématique de recherche en région Nouvelle-Aquitaine (unité CNRS/Bordeaux INP/La Rochelle Univ./Univ. de Bordeaux/Univ. de Limoges/Univ. de Pau et des Pays de l’Adour/Univ. de Poitiers).
- 4. Institut de mathématiques de Bordeaux (unité CNRS/Bordeaux INP/Université de Bordeaux).
- 5. Laboratoire de mécanique et génie civil (unité CNRS/université de Montpellier).
Voir aussi
