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Les maths ont des oreilles
Il remplit notre quotidien sans que nous puissions l’apercevoir. « Le son nous entoure et, pourtant, on le questionne rarement », remarque Nina Gasking, chargée de médiation à la Maison des mathématiques et de l’informatique (MMI), à Lyon. Avec Olivier Druet, directeur de la structure, ils ont décidé de consacrer une exposition au son, ce phénomène si familier, mais dont on parle peu.
Un lien multimillénaire
Le son est un objet dont les scientifiques se sont emparés il y a peu. Mais l’une de ses manifestations, la musique, est étudiée depuis plusieurs millénaires. « On peut faire remonter le compagnonnage entre mathématiques et musique à Pythagore, au VIe siècle avant notre ère, pointe Vincent Lostanlen, informaticien au CNRS, au Laboratoire des sciences du numérique à Nantes1. Pour les pythagoriciens, non seulement les connaissances mathématiques permettaient de concevoir des instruments, mais, en plus, la musique était motrice pour les mathématiques. »
Les pythagoriciens se sont notamment intéressés à la corde vibrante et ont constaté que la hauteur d’un son dépend de la longueur de la corde. Jouer sur la longueur permet donc de créer une gamme de notes, ainsi que de jouer avec des notions mathématiques comme les fractions.
Des ponts entre musique et maths
Cette pensée ne s’est pas perdue au fil des années. Des siècles plus tard, des mathématiciens ont puisé dans leurs connaissances musicales pour faire émerger un nouveau champ des mathématiques.
C’est le cas de Leonhard Euler (1707-1783). Le scientifique et théoricien de la musique suisse réfléchissait à l’existence d’un trajet qui passerait par tous les ponts de la ville de Königsberg2 sans passer deux fois par le même. Il a vu là une analogie avec la musique. « Il s’agit de trouver une progression harmonique, c’est-à-dire une suite d’accords permettant de passer une et une seule fois par toutes les tonalités majeures et mineures », explique Moreno Andreatta, mathématicien au CNRS à l’Institut de recherche mathématique avancée3, à Strasbourg.
Théorie des graphes
Les réflexions de Leonhard Euler donnent naissance à la théorie des graphes4 ainsi qu’à un objet mathématique appelé « speculum musicum », connu aujourd’hui sous le nom de « tonnetz » (« réseau tonal » en allemand). Cet objet permet de représenter géométriquement les notes de musique dans le plan. La représentation est un graphe constitué de triangles dont chaque sommet est une note et chaque trait représente un intervalle. La répartition des notes n’est pas aléatoire, mais associe aux triangles les notes qui forment les accords majeurs et mineurs (les associations de notes les plus conventionnelles dans la musique).
« Le tonnetz est très intéressant, car il permet de représenter une progression harmonique comme une trajectoire dans l’espace. Et chaque transformation musicale correspond à une transformation géométrique », détaille Moreno Andreatta. Par exemple, un accord majeur et l’accord mineur correspondant sont représentés par deux points symétriques sur le tonnetz.
« L’intérêt est d’offrir cet outil aux musicologues pour analyser des musiques existantes, et aux compositeurs et compositrices pour explorer de nouvelles transformations musicales s’appuyant sur ces espaces, souligne le mathématicien. D’autres représentations géométriques existent au-delà du tonnetz traditionnel, ce qui permet d’explorer des styles musicaux différents. » Un espace de l’exposition « Ça résonne » est justement consacré à la création musicale, avec un tonnetz et d’autres outils numériques mis à disposition des visiteurs.
Vibration de l’air
« Nous avons voulu montrer qu’il y avait beaucoup à dire quand on regarde le son d’un point de vue mathématique et informatique », souligne Nina Gasking, commissaire de l’exposition.
De quelle nature est le son ? Qu’il s’agisse d’une enceinte dont les haut-parleurs battent au rythme de la musique ou d’une corde de guitare qui vibre, « on a l’intuition que le son est une vibration de l’air », souligne Nina Gasking. En effet, le son est une série de variations de pression de l’air que nos oreilles vont décoder. « Mais cela n’est pas suffisant pour pouvoir le comprendre en détail. À un moment, les scientifiques se sont donc posé la question de la représentation du son afin de pouvoir l’étudier. »
Représenter le son
Notre oreille est sensible à deux informations : l’intensité des vibrations et leurs fréquences. La première correspond à la puissance du son et la seconde, à son caractère aigu ou grave. Or, grâce aux fonctions (des objets mathématiques qui décrient l’évolution d’une grandeur), il est possible de représenter ces deux paramètres du son. Et donc de le décrire mathématiquement. Par exemple, l’intensité d’un son au fil du temps peut être figurée par une courbe qui oscille. L’amplitude de la courbe indique l’intensité ; l’espacement entre les oscillations représente la fréquence.
« Mais ces oscillations sont très concentrées et mêlent plusieurs fréquences. Il est compliqué d’analyser un son de cette manière, nuance Olivier Druet, commissaire scientifique de l’exposition. D’où l’intérêt d’un outil qu’on appelle la “transformation de Fourier”. » Cet outil, qui peut décomposer n’importe quelle courbe en une somme de courbes périodiques simples appelées « sinusoïdes », voit le jour au début du XIXe siècle grâce aux travaux du mathématicien français Joseph Fourier. La transformation de Fourier permet de transformer la courbe de l’intensité en quelque chose de plus pratique à analyser – une addition de sons purs. « Ça ne donne pas le même type d’informations, précise Olivier Druet. Chaque représentation relève des aspects différents du son. »
Des sons pas si purs
Pour illustrer ce changement de perspective d’une représentation à une autre, Nina Gasking et Olivier Druet ont imaginé un atelier facile à prendre en main. Les visiteurs de l’exposition sont invités à reconstruire un son en combinant plusieurs sons dits « purs », c’est-à-dire constitués d’une seule fréquence. Passer du son au détail des fréquences, c’est la transformation de Fourier.
« Nous voulons montrer qu’un son n’est pas pur, mais un mélange de fréquences », explique Olivier Druet. Cette multiplicité des fréquences est d’autant plus vraie que le son s’éloigne de la musicalité : « Dans le son d’un instrument de musique, dans le chant, très peu de fréquences sont présentes. Tandis que dans un bruit comme le ronronnement d’un  chat, il y en a davantage ».
Passer d’un son à une représentation mathématique est devenu un jeu d’enfant avec le développement de l’informatique. Ce n’est pourtant pas intuitif. Les ordinateurs sont des machines du monde dit « discret », c’est-à-dire constitués d’objets distincts et séparés, ne manipulant que des suites de 0 et de 1. Le son, lui, est un objet continu – sans trou.
« On ne saurait pas stocker le continu sur une machine, car il n’y a pas de mémoire infinie », expose Charlotte Truchet, directrice du laboratoire Sciences et technologies de la musique et du son5, à Paris. Pourtant, aujourd’hui, n’importe qui peut stocker de grandes quantités de sons sur un ordinateur grâce à une astuce mathématique.
Échantillons de son
Tout commence par l’enregistrement du son avec un microphone. « Cet outil transforme le son réel en signal électrique. La courbe d’intensité électrique est exactement la même que la courbe des surpressions et sous-pressions de l’air », décrit Olivier Druet. On parle alors de « signal analogique ». Pour entrer dans le monde discret des ordinateurs, ce signal électrique continu doit être échantillonné plus de 40 000 fois par seconde.
Cet échantillonnage est un peu l’analogue audio de la décomposition en pixels d’une image. « À partir de là, il est possible de retrouver complètement le son d’origine, observe le directeur de la MMI. En effet, un théorème du mathématicien Claude Shannon indique que si le son ne comporte pas de fréquences inaudibles pour l’oreille humaine, alors échantillonner plus de 40 000 fois par seconde suffit à retrouver le son initial. »
L’autre élément sur lequel les scientifiques jouent est la quantification, c’est-à-dire la précision des 40 000 mesures. Plus elles sont précises, et plus les valeurs mesurées prennent de place dans la mémoire de l’ordinateur. Un compromis est nécessaire. « Mais, à nouveau, tempère Olivier Druet, cela ne sert à rien d’être trop précis, car, à un moment, le crachotis qu’on entend si la quantification n’est pas assez élevée devient inaudible. » La partie interactive de l’exposition permet aux visiteurs de se convaincre de ces résultats de mathématiques en échantillonnant et quantifiant des sons à différentes valeurs.
Les signaux de la guitare électrique
« Le son n’est étudié que depuis 150 ans environ. On voulait également montrer à quel point chaque avancée sur la compréhension du son a été utilisée pour jouer avec lui », souligne Olivier Druet. Cela a conduit, par exemple, à la création de nouveaux instruments de musique.
C’est notamment le cas de la guitare électrique. Celle-ci ne crée pas de sons audibles, mais des signaux électriques, transformés ensuite en vibrations acoustiques. « Et aujourd’hui, ajoute Charlotte Truchet, l’outil informatique nous permet de calculer les vibrations d’un objet en fonction de son matériau de fabrication, donc du son qu’il peut produire. De là, il devient possible de simuler de nouveaux instruments. »
Machines à musique
Étonnamment, l’idée même de composer de la musique par informatique ne date pas de l’avènement des ordinateurs. La mathématicienne britannique Ada Lovelace imaginait dès le XIXe siècle la production de musique par une machine. « Lorsqu’elle traduit l’ouvrage du mathématicien et ingénieur militaire italien Louis-Frédéric Ménabréa décrivant une “machine analytique” (dont le pouvoir expressif est équivalent aux machines d’aujourd’hui), elle ajoute dans une note de bas de page un argument visionnaire sur l’avenir de la machine concernant la musique », rappelle Vincent Lostanlen.
Celle qu’on décrira plus tard comme une pionnière de l’informatique imagine déjà des machines capables de composer de la musique. « Lovelace suppose néanmoins que les règles de l’harmonie et de la composition musicale puissent être exprimées en termes de règles mathématiques, note le chercheur. Pourtant, la musique n’est pas qu’un corpus de règles. »
Composition assistée par ordinateur
Néanmoins, comme le montre l’exposition, les mathématiques et l’informatique s’invitent de plus en plus dans la composition musicale. Non pas pour dicter ce que serait une bonne musique, mais pour assister les compositeurs et compositrices. « L’ordinateur devient un nouvel outil d’expression, affirme Charlotte Truchet. Les compositeurs ont de réelles demandes. C’est en discutant avec eux qu’on peut réussir à faire coïncider les technologies avec leurs besoins. »
La chercheuse s’est notamment intéressée à l’application musicale de la programmation par contraintes. Il s’agit ici de donner toutes les conditions d’un problème à l’ordinateur et de le laisser calculer la bonne réponse – le tout, sans recourir à l’apprentissage automatique.
« En musique, la programmation par contraintes fonctionne bien, car des traités d’harmonie décrivent les règles à appliquer pour faire une musique, détaille Charlotte Truchet. C'est également vrai en musique contemporaine, qui, si elle comporte moins de règles, conserve une structure. » Les compositeurs et compositrices peuvent ensuite ajuster le morceau à leurs inspirations.
Des logiciels spécifiques
Pour l’ordinateur, la musique n’est pas une courbe de surpressions et sous-pressions, mais une succession de notes, comme sur une partition. Des formats de fichiers spécifiques, et même des logiciels de traitement des structures musicales (comme OpenMusic, développé à l’Ircam) permettent de représenter des partitions et de jouer des musiques. « Ici, les hauteurs des notes sont des entiers et le rythme est représenté par des durées », détaille Charlotte Truchet.
Cette manière de représenter la musique a permis de constituer de grandes bases de données pour apprendre aux modèles d’intelligence artificielle (IA) à générer de la musique. « Les modèles d’IA fonctionnent un peu comme ChatGPT, décortique Olivier Druet. La musique a une grammaire, comme le langage naturel que la machine apprend. Pour donner du sens à sa création, celle-ci va simplement se référer à sa base de données et générer une suite de notes ou de rythmes probables.  »
Et si l’IA nous aidait à comprendre l’écoute ?
En retour, ces modèles d’IA pourraient bien nous renseigner sur notre propre manière d’écouter de la musique. « Quand on écoute, des fonctions cognitives de haut niveau sont impliquées. Les machines d’écoute modélisent et simulent la faculté d’écoute des êtres vivants pour nous aider à en comprendre les principes. En retour, c’est en exerçant notre écoute vivante que nous pouvons critiquer les limites de l’écoute artificielle de ces machines », explique Vincent Lostanlen, qui travaille sur le sujet. Ces travaux pourraient notamment permettre de comprendre comment les êtres humains apprennent à suivre un rythme et reconnaître une fausse note, sans même suivre un cours de solfège.
Bien que le son et la musique ne sont pas des sujets nouveaux, l’exposition donne à voir cette réalité sous-estimée : la musique et le son sont des domaines de recherche extrêmement actifs encore aujourd’hui. C’est ce que souligne Nina Gasking : « On peut avoir l’impression que, scientifiquement, on connaît tout du son. Mais, même si on comprend bien les principes de base, il reste encore beaucoup de questions ouvertes et des enjeux. Cela motive des projets de recherche. »
À voir
Exposition « Ça résonne » (à partir de 12 ans), jusqu’au 27 juin 2027, à la Maison des mathématiques et de l’informatique de Lyon.
Présentation de l’exposition par la commissaire d'exposition Nina Gasking (vidéo).
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- 1. LS2N, unité CNRS/École centrale de Nantes/Nantes Université.
- 2. Voir : https://tinyurl.com/euler-ponts
- 3. Irma, unité CNRS/Université de Strasbourg.
- 4. Sur l’histoire et les enjeux de la théorie des graphes, voir aussi : https://tinyurl.com/theorie-graphes
- 5. STMS, unité CNRS/Ircam/Ministère de la Culture/Sorbonne Université.
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Auteur
Rédacteur à la direction de la communication du CNRS, Maxime Lerolle s’intéresse aussi bien aux questions environnementales (énergie et biodiversité) qu’à l’actualité culturelle (cinéma et jeux vidéo) éclairée par un regard scientifique.
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