Ce 1^er avril 2026, nous célébrons le 250^e anniversaire de la naissance de la mathématicienne Sophie Germain. « On ne sait que très peu de choses de sa vie, mais on sait qu’elle a eu beaucoup de difficultés à travailler et à faire connaître ses travaux », rapporte Hervé Pajot, professeur à l’Université Grenoble Alpes1 et auteur de la bande dessinée Les Audaces de Sophie Germain. Le talent de la jeune femme, longtemps méconnu, sera bientôt consacré. D’ici à 2027, son nom sera gravé au premier étage de la tour Eiffel, aux côtés de ceux de 71 autres femmes scientifiques.

C’est en pleine Révolution française que Sophie Germain découvre les mathématiques. Cloîtrée chez elle durant les événements révolutionnaires, la jeune femme trouve refuge dans la bibliothèque de son père, Ambroise-François Germain, un commerçant aisé et élu du tiers état. Là, elle met la main sur l’Histoire des mathématiques, du Français Jean-Étienne Montucla. Captivée par ce récit, elle se passionne pour les mathématiques et se forme en autodidacte.

Vraisemblablement, ses parents s’inquiètent de voir l’une de leurs filles étudier les mathématiques et tentent de l’en empêcher. « Il se disait, à cette époque, que cela pouvait rendre folles les femmes », raconte Hervé Pajot. Devant la persévérance de la jeune mathématicienne, ses parents renoncent à l’entraver et la soutiennent.

Mathématicienne sous pseudonyme

À défaut de pouvoir intégrer l’École polytechnique, ouverte en 1794 pour former les ingénieurs de la nation et réservée aux hommes (et ce, jusqu’en 1972), Sophie Germain réussit dès l’inauguration de l’institution à s’en procurer les cours. Pour cela, elle emprunte le nom d’un élève qui n’assiste plus aux cours, Antoine Auguste Leblanc.

En 1816, Sophie Germain devient la première femme à décrocher un prix de l’Académie des sciences et à y entrer. Ici, sa lettre d’admission dans la prestigieuse institution.

En 1816, Sophie Germain devient la première femme à décrocher un prix de l’Académie des sciences et à y entrer. Ici, sa lettre d’admission dans la prestigieuse institution.

BNF/Bibliothèque Ecole Polytechnique

BNF/Bibliothèque Ecole Polytechnique

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Comme les enseignements se tiennent à distance, les élèves sont encouragés à correspondre avec leurs professeurs pour leur faire part de leurs remarques ou questions. « Joseph-Louis Lagrange, professeur de mathématiques, constate qu’un certain M. Leblanc résout très bien les problèmes. Il demande à le rencontrer et découvre alors Sophie Germain », raconte Hervé Pajot. Lagrange ne s’offusque pas de la ruse de la jeune femme et, au contraire, l’encourage à poursuivre ses efforts.

Quatre ans plus tard, Sophie Germain découvre la théorie des nombres grâce à l’ouvrage Essai sur la théorie des nombres, d’Adrien-Marie Legendre. Cette branche des mathématiques, qui étudie les nombres entiers, émerge à la fin du XVIII^e siècle. « Avant les Disquisitiones arithmeticae, de Carl Friedrich Gauss, en 1801, l’arithmétique n’est pas encore une branche des mathématiques organisée et formée d’une communauté étudiant des problèmes bien définis », décrit Olivier Fouquet, professeur à l’Université Marie et Louis Pasteur2.

À l’occasion de cette publication, Sophie Germain utilise à nouveau son pseudonyme pour correspondre avec Gauss. Le mathématicien allemand partagera son admiration quand il découvrira la véritable identité de son interlocutrice.

Un travail solitaire

À part ces quelques correspondances, Sophie Germain est très seule. « Elle a été très peu lue à son époque et elle a eu peu d’influence – à cause du sexisme, mais aussi parce que la communauté de la théorie des nombres était trop petite », selon Olivier Fouquet. Comble de la malchance, l’arithmétique connaîtra ses premières heures de gloire dans les années 1820, mais dans des directions que la mathématicienne n’avait pas explorées.

Pourtant, Sophie Germain n’a pas eu peur de se confronter à l’un des problèmes les plus emblématiques (et difficiles) de ce domaine, le dernier théorème de Fermat. Cet énoncé de Pierre de Fermat, datant du XVII^e siècle, est encore une conjecture au moment où elle s’y intéresse. 

La question concerne une relation entre trois nombres entiers. On sait qu’il existe des entiers x, y et z tels que x²+y²=z². Par exemple, 3 (9 au carré), 4 (16 au carré) et 5 (25 au carré, soit 9+16). Et Pierre de Fermat se demande s’il est possible de trouver trois entiers tels que xⁿ+yⁿ=zⁿ, quand n est plus grand que 2. « La question concerne les cas non triviaux où aucun entier n’est nul », précise Olivier Fouquet. Fermat suspectait que trouver ces x, y et z était impossible.

Piste prometteuse

À l’époque où Sophie Germain découvre cette question, aucun mathématicien n’a conçu d’approche pour s’attaquer à tous les exposants (tous les n) en même temps. « Sophie Germain propose un changement de paradigme, en introduisant une stratégie concrète pour démontrer le théorème complètement », détaille Olivier Fouquet.

L’Académie des sciences a récompensé Sophie Germain pour ses travaux sur les surfaces élastiques. Ceux-ci ont été rassemblés en 1821 dans son ouvrage « Recherches sur la théorie des surfaces élastiques », dont on voit (à droite) une figure mathématique.

L’Académie des sciences a récompensé Sophie Germain pour ses travaux sur les surfaces élastiques. Ceux-ci ont été rassemblés en 1821 dans son ouvrage « Recherches sur la théorie des surfaces élastiques », dont on voit (à droite) une figure mathématique.

Bibliothèque de l'École polytechnique fédérale de Zurich

Bibliothèque de l'École polytechnique fédérale de Zurich

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L’idée de la mathématicienne est de construire des « nombres premiers auxiliaires » associés à n (des nombres premiers liés à n et spécifiquement choisis pour aider à étudier cette équation). En effet, Sophie Germain a prouvé que l’existence d’un nombre premier auxiliaire de n permet de montrer une version plus faible mais déjà intéressante du théorème. De plus, le théorème de Fermat est vrai si n a une infinité de nombres premiers auxiliaires. « Son plan était crédible. Mais, avec Legendre, ils se sont rendu compte que beaucoup d’entiers n’ont pas une infinité de nombres auxiliaires », explique Olivier Fouquet. On sait maintenant qu’aucun nombre premier n’a une infinité de nombres premiers auxiliaires.

Longtemps, son travail est resté méconnu, car Sophie Germain n’a publié aucun article d’arithmétique de son vivant. C’est seulement au début du XX^e siècle que le mathématicien états-unien Leonard Eugene Dickson redécouvre la stratégie de la mathématicienne et l’adapte au nouveau formalisme arithmétique. Et il faudra attendre 1994 pour que le théorème de Fermat soit enfin démontré, par Andrew Wiles, avec des méthodes différentes.

Un héritage de ses travaux se trouve, tout de même, dans les « nombres premiers de Sophie Germain » – des nombres premiers p tels que 2×p+1 est aussi un nombre premier. Dans ce cas, 2xp+1 est l’un des auxiliaires de p. Par exemple, 5 dans cette catégorie, car il est premier et que (5x2)+1 vaut 11, qui est lui aussi premier.

Un détour par l’analyse

Sophie Germain étudie une tout autre question à partir de 1811, le problème des plaques vibrantes. En 1809, le musicien et physicien allemand Ernst Chladni a fait une démonstration étonnante devant Napoléon, à Paris : lorsqu’on fait vibrer une fine plaque de cuivre recouverte de sable, de jolies figures géométriques se dessinent sur la surface. L’empereur souhaite qu’une récompense soit donnée à qui expliquerait le phénomène. L’Académie des sciences lance donc un concours.

Trois années de suite, Sophie Germain y participe. Les deux premières, ses travaux ne sont pas récompensés. Mais, la troisième fois, enfin, l’Académie des sciences lui décerne son prix. C’est la première fois qu’une femme reçoit cette récompense.

« On ne sait pas vraiment ce qui s’est passé, mais Sophie Germain ne s’est pas rendue à la remise du prix. Il est possible qu’elle n’ait pas été informée », émet Hervé Pajot. Peut-être aussi que la mathématicienne ne voulait pas recevoir une récompense d’une institution qui ne l’a jamais considérée.

« Elle est devenue un symbole »

En effet, toute sa carrière est marquée par l’isolement. Sophie Germain n’est pas invitée à prendre part aux discussions avec les mathématiciens de son temps, elle peine à être au courant des avancées du domaine, ses travaux ne sont pas publiés…

« Cela a été vraiment difficile pour elle. C’est peut-être pour cela qu’elle s’est tournée vers la philosophie à la fin de sa vie », avance Hervé Pajot. Ses écrits inspireront notamment le positivisme, un courant de pensée prônant une approche rigoureuse de la construction des connaissances.

Sophie Germain meurt d’un cancer du sein, en juin 1831, à Paris. « Elle est devenue un symbole pour montrer aux jeunes filles que les mathématiques sont faites pour les femmes, soutient Hervé Pajot. Mais, aujourd’hui, même si les femmes sont encouragées à faire des mathématiques, la situation reste catastrophique ».

En 2021, les maîtresses de conférences et les professeures des universités en mathématique n’occupaient encore que 21 % à 22,4 % des postes en France. Idem au CNRS où, malgré une hausse et des efforts notables, les directrices de recherche en mathématiques ne représentent que 21,5 % des effectifs. Et cela, 250 ans après le parcours inspirant de Sophie Germain.

À lire
- Les Audaces de Sophie Germain, d’Adriana Fillipini et Elena Tartaglini, coordination scientifique d'Hervé Pajot, éditions Petit à Petit, 2021, 144 p.

À voir
- Les posters de l’exposition « Les audaces de Sophie Germain » (2021). 
- Je suis Sophie Germain, femme et mathématicienne, documentaire de l’Institut Fourier (14 min).

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