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(Apprendre) les maths au bout des doigts
Pour enseigner autrement les mathématiques, le Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné (LJAD)1 dispose d’un argument de poids. C’est le seul laboratoire de mathématiques en Europe à posséder son propre fablabFermerFablab : atelier collaboratif ouvert au public de fabrication d’objets par des procédés numériques.
Indira Chatterji et Marc Monticelli animent cet atelier ouvert au public – autant des scolaires que des personnels de recherche – et qui met à disposition des machines-outils pilotées par ordinateur.
Dans ces 50 m² d’anciennes salles expérimentales, reconverties en fablab à partir de 2016, on trouve de tout : imprimantes 3D filament et résine, bancs électroniques, travail du bois, découpe vinyle et découpe laser (plexiglas, bois).
Ces instruments apportent à des problématiques complexes des réponses sur mesure en à peine quelques dizaines de minutes de fabrication… et aboutissent à autant de formes étranges.
En 10 ans, plus de 200 modèles différents d’objets ont vu le jour au fablab, y compris par des élèves de collège. Utiles et de petite taille, ces objets sont davantage conçus pour être manipulés et transportés de classe en classe que pour leur aspect esthétique. Toutefois, les plus beaux d’entre eux sont exposés dans la « Mathothèque »2 inaugurée à l’été 2025.
Les membres du LJAD se sont aperçus que l’appréhension tactile se révélait bien plus efficace que les dispositifs numériques pour vulgariser des phénomènes complexes auprès des enfants. Ceux-ci sont fascinés par le simple fait d’entretenir un rapport physique aux concepts des mathématiques et de l’informatique.
Ce rapport tactile aux mathématiques aide à contourner leur formalisme, qui freine, voire décourage l’apprentissage de la discipline. Prenons les « dessins d’enfants » du célèbre mathématicien français Alexandre Grothendieck. Contrairement à ce que suggère leur nom, ces « dessins d’enfants » n’ont rien de simple. Ces graphes d’apparence anodine encodent des courbes algébriques sur lesquelles agit le groupe de Galois absolu. Un concept qui peut rebuter les profanes… jusqu’à ce qu’ils essaient le jeu de construction élaboré par le LJAD !
En assemblant des tiges et des billes de deux couleurs, les plus jeunes peuvent ainsi appréhender ce concept abstrait, rendu concret au bout de leurs doigts. Le jeu dédramatise l’accès à un véritable objet de recherche en mathématiques, en y donnant une première approche intuitive et non formelle.
Le détour par le jeu permet de décomposer étape par étape des problèmes mathématiques presque impossibles à saisir au premier abord. C’est le cas du jeu de plateau « À table ! », conçu au fablab par trois étudiants de licence inspirés par le fameux Rubik’s Cube.
Autour d’une table ronde, huit convives doivent être replacés chacun face à sa couleur. Replacer les invités, c’est réaliser une permutation. Or il existe 8 × 7 × … × 1 = 40 320 dispositions possibles ! Sachant qu’au fur et à mesure de la partie, le maître de maison, mathématicien, interdit aux joueurs de bouger les pions à leur guise et leur impose de plus en plus de règles.
Au fil de la partie, les joueurs et joueuses comprennent ainsi – dès l’école primaire – que tout réarrangement, aussi compliqué qu’il paraisse, se décompose en réalité en une suite de gestes simples. Ils et elles manipulent une notion de groupe (soit des transformations qu’on enchaîne et qu’on peut défaire) et découvrent que quelques mouvements de base suffisent ou non à engendrer toutes les configurations.
Ce faisant, on peut apprendre l’histoire des mathématiques d’une manière ludique dès le plus jeune âge. Ainsi, la « Pascaline-tte Pitchoun », inspirée de la pascaline (première calculatrice, inventée par le philosophe et mathématicien français Blaise Pascal au XVIIe siècle), facilite l’enseignement des unités et des dizaines, au programme des classes de CE2.
Par son caractère résolument bidouilleur, le fablab du LJAD démocratise ainsi l’accès à la culture scientifique en désacralisant des objets historiques.
Ce souci de démocratiser les mathématiques s’applique à tous et toutes, quelle que soit la condition physique des enfants. En collaboration avec un institut médico-éducatif accueillant des enfants lourdement handicapés sur le plan psychomoteur, le LJAD a conçu un dé à six faces pour leur faire expérimenter le formalisme mathématique. À leur âge, ces enfants, d’un niveau maternelle à début de primaire, peinent à saisir le dénombrement (fait d’associer une quantité d’objets à un nombre).
Pour les aider à franchir ce premier pas vers l’abstraction, le laboratoire niçois a taillé sur mesure un grand dé à six faces, facile à manier malgré les difficultés motrices des enfants. Sur ce dé, chaque point d’une face est un petit pot. Les enfants déposent ensuite un objet par point, si bien qu’une face à cinq points se remplit littéralement de cinq objets. Aussi simple soit-il, ce geste illustre la correspondance terme à terme, à la base du comptage et donc de l’abstraction mathématique.
Par sa simplicité et sa rapidité d’usage, le fablab sert également de bac à sable en temps réel pour la médiation scientifique. Le LJAD a ainsi beaucoup appris au travers d’essais et d’erreurs, toujours recommencés et toujours améliorés.
C’est le cas du puzzle mathématique Phasorama, illustrant les systèmes dynamiques dès la classe de troisième. Cet atelier utilise un jeu de tuiles hexagonales pour explorer les lignes de champ de vecteurs et leurs singularités. Les élèves combinent les tuiles pour former des domaines avec des champs réguliers, afin de comprendre comment la forme du domaine impose des contraintes aux champs de vecteurs – ce qu’on appelle des « invariants topologiques ».
Au fil des interventions, le jeu et le discours de médiation scientifique qui l’accompagnait ont été affinés et adaptés en temps réel avec les enfants.
Le fablab n’est toutefois pas l’apanage des plus jeunes. Les scientifiques aussi apprécient de toucher enfin du doigt les concepts mathématiques sur lesquels ils travaillent des années durant ! C’est le cas lors des « fabrikathons » : chaque année, pendant trois jours, des mathématiciennes et mathématiciens fabriquent leurs propres objets mathématiques.
Par exemple, la mathématicienne française Sylvie Benzoni3 a imprimé en résine 3D un rulpidon (un objet dont la surface comporte 3 trous, mais qui donne l’illusion d’en avoir 4), devenu autant son emblème personnel que celui de l’Institut Henri-Poincaré4 – qu’elle dirigeait jusqu’en 2024 – et de sa Maison Poincaré.
Au-delà des pratiques de médiation scientifique, l’impression d’objets mathématiques sert aussi comme pratique de recherche. Doctorante en mathématique, Pénélope Azuelos a codé un complexe cubique lors d’un passage au fablab.
Dans sa thèse, elle étudie les espaces médians, importants dans divers domaines, de la biologie à l’économie en passant par l’informatique. L’objet ci-dessus est une façon de visualiser un groupe de matrices (appelé « PSL(2,ℤ) ») très étudié dans plusieurs domaines, souvent de manière très algébrique.
Tous ces ateliers, tous ces jeux sont autant de manières de saisir pourquoi les scientifiques disent des mathématiques qu’elles sont belles en tant que telles. L’attracteur de Lorenz (ci-dessus) montre comment les variables du système dynamique évoluent dans le temps en des trajectoires non périodiques. Mais sa structure fractale en forme de papillon est jolie en elle-même. Un rapport esthétique aussi bien que ludique aux mathématiques que le LJAD enseigne par la pratique.
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- 1. Unité CNRS/ Université Côte d’Azur.
- 2. Voir : https://mathemarium.fr/-Mathotheque-.html
- 3. Institut Camille Jordan (ICJ, unité CNRS/École centrale Lyon/Insa Lyon/Lyon 1 Université/Université Jean Monnet).)
- 4. IHP, unité CNRS/Sorbonne Université.
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Auteur
Rédacteur à la direction de la communication du CNRS, Maxime Lerolle s’intéresse aussi bien aux questions environnementales (énergie et biodiversité) qu’à l’actualité culturelle (cinéma et jeux vidéo) éclairée par un regard scientifique.
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