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Ces nombres qui dessinent le monde

Ces nombres qui dessinent le monde

23.08.2021, par
La naissance de l’arithmétique, la science des nombres, en tant que branche des mathématiques, remonte au VIe siècle av. J.-C.
L’étude des nombres anime les mathématiques depuis l’Antiquité. En évolution constante, l’arithmétique tisse un lien entre nombres et géométrie, et se retrouve dans des applications de la vie quotidienne, notamment en matière de cryptographie.

(Cet article a initialement été publié dans le n°10 de la revue Carnets de science)

Au-delà du fait d’être un très mauvais tirage au Scrabble, les lettres N, Z, D, Q, R et C symbolisent, pour les mathématiciens, des ensembles de nombres. Par exemple, la lettre N désigne l’ensemble des entiers (1, 2, 3, etc.). Ceux-ci peuvent être pairs, impairs, ou encore premiers. La lettre Q qualifie, quant à elle, l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire s’exprimant comme un rapport de deux entiers. Lorsque ce n’est pas le cas, ils sont dits « irrationnels » comme pi (π) : 3,14115... ! Une variété qui ne peut que susciter la curiosité de quiconque se penche sur ces différentes familles de nombres...

Depuis l’Antiquité, les mathématiques s’y intéressent à travers l’arithmétique. Si ce terme nous dit quelque chose, c’est parce que nous l’étudions dès l’école primaire, notamment en apprenant ses quatre opérations élémentaires : addition, soustraction, multiplication et division. Pour autant, la recherche fondamentale en arithmétique ne s’est pas arrêtée à la fin de l’Antiquité. « L’enseignement des mathématiques donne l’impression qu’il n’existe que des problèmes fermés auxquels il suffit d’appliquer la bonne formule pour les résoudre, comme on apprend le théorème de Pythagore. En recherche, au contraire, il y a plus de questions ouvertes que de réponses », remarque Daniel Fiorilli, chercheur en théorie analytique des nombres au Laboratoire de mathématiques d’Orsay1.

La quête du pourquoi

En langage moderne, il est question de théorie des nombres. Une version un peu plus épicée de l’arithmétique de l’Antiquité ! Ses théoriciens s’intéressent à la formation, aux propriétés et aux rapports qui existent entre les nombres. Pour cela, ils manipulent des équations, des x et des y, avec des outils provenant de toutes les branches des mathématiques : l’analyse, les probabilités, l’algèbre, la géométrie, etc. Des travaux souvent guidés par une quête dont l’objectif n’est pas simplement « de savoir et connaître les choses, mais de comprendre pourquoi », nous confie Antoine Chambert-Loir, chercheur en géométrie arithmétique à l’Institut de mathématiques de Jussieu-Paris rive gauche2.

La tablette «Plimpton 322» est conservée à la Rare Book and Manuscript Library de l’université Columbia à New York.
La tablette «Plimpton 322» est conservée à la Rare Book and Manuscript Library de l’université Columbia à New York.

Une ambition qui ne semble pas dater d’hier : les archéologues ont observé un intérêt pour les nombres « particuliers » dès l’époque babylonienne, il y a 4 000 ans. La tablette d’argile surnommée Plimpton 322, conservée à l’université Columbia à New York, en est une des preuves les plus connues. Elle contient des paires de nombres correspondant à des largeurs et à des diagonales de rectangles. Ces nombres s’apparentent aux triplets dits « pythagoriciens », un trio d’entiers vérifiant le théorème de Pythagore.

Toutefois, la naissance de l’arithmétique, en tant que branche des mathématiques, remonte au VIe siècle av. J.-C. avec l’école pythagoricienne. Bien que celle-ci considère que « tout ce qui existe est nombre », elle renie l’existence des nombres irrationnels, considérés comme contraires à ses croyances. Trois cents ans plus tard, Euclide regroupe les connaissances arithmétiques de la Grèce antique dans son livre Les Éléments. Autour de l’an 300, Diophante explore, quant à lui, plus d’une centaine de problèmes liés aux nombres entiers. Ces équations dites « diophantiennes » sont toujours étudiées.

Ce fragment de papyrus est l'un des plus anciens textes existants des Éléments d'Euclide, écrit en grec vers 300 avant notre ère. Il est conservé à l'université de Pennsylvanie.
Ce fragment de papyrus est l'un des plus anciens textes existants des Éléments d'Euclide, écrit en grec vers 300 avant notre ère. Il est conservé à l'université de Pennsylvanie.

Derrière ces quelques dates et noms, se cache une évolution importante de la perception de l’arithmétique. Pour s’en rendre compte, imaginons la solution à l’équation x2=2 que donneraient les mathématiciens de différentes époques. Sara Checcoli, chercheuse en géométrie diophantienne à l’Institut Fourier3, nous donne un aperçu : « Les Babyloniens feraient sûrement une approximation de la valeur de x, soit environ 1,41. Les pythagoriciens diraient que la réponse est un secret, car il s’agit d’un nombre irrationnel. Pour Diophante, il n’y a pas de solution intéressante, car le résultat n’est pas un entier ou un rationnel. Pour la réponse moderne, ±√2 avec le symbole de la racine carrée, il faut attendre le XVIe siècle. »

Une classe de problèmes

Jusqu’en 1801, arithmétique et théorie des nombres étaient ainsi synonymes. Un tournant s’opère avec la publication de Disquisitiones Arithmeticae par l’Allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Le recueil fait état des résultats de ses éminents prédécesseurs comme Fermat, Euler, Lagrange ou Legendre. Mais il y introduit également de nouvelles notions, théorèmes et démonstrations. C’est le début de la théorie des nombres au sens moderne. Un terme qui définit davantage une classe de problèmes qu’un groupe de méthodes pour les résoudre.

De nos jours, la théorie des nombres se découpe en quatre champs d’études principaux : la théorie algébrique, qui s’intéresse aux nombres algébriques (tous les nombres qui sont des solutions – des racines pour les intimes – de polynômes) et utilise les outils issus de l’algèbre ; la géométrie arithmétique, qui étudie les solutions des équations en regardant l’objet géométrique que ces dernières décrivent ; la théorie algorithmique, qui s’attaque à la transposition de problèmes de théorie des nombres sur ordinateur ; enfin, la théorie analytique, qui se concentre sur la distribution des nombres entiers au sein d’une série. Cette dernière attache un intérêt particulier aux nombres premiers (divisibles que par 1 et eux-mêmes).

Les briques élémentaires

Une des particularités de la théorie analytique des nombres est la simplicité des énoncés de ses problèmes, qui demeurent parfois irrésolus depuis l’Antiquité. Par exemple, combien existe-t-il de nombres premiers uniquement composés de 1 ? Et si vous vous demandez pourquoi les nombres premiers fascinent autant les mathématiciens, la réponse de Cécile Dartyge, chercheuse à l’Institut Élie Cartan de Lorraine4, est sans ambiguïté : « Il est important de les comprendre, car ce sont les briques élémentaires qui composent tous les nombres. »

De l’infinité de nombres premiers découle une infinité de questions de recherche. Par exemple, l’écart entre eux est irrégulier. On passe de 11 à 13 puis à 17. Est-il alors possible de prédire quand arrivera le prochain premier d’une suite à partir d’un nombre donné ? Pour répondre à cette question, les chercheurs utilisent des lois statistiques. C’est notamment le cas de Daniel Fiorilli. « On veut comprendre toutes les statistiques associées à ces écarts. Il existe notamment une conjecture qui dit que ces écarts suivent la même loi qui régit le temps séparant l’arrivée des clients au supermarché », décrit le chercheur.

Construction d'un ensemble fractal par itération de la fonction Zêta de Riemann.
Construction d'un ensemble fractal par itération de la fonction Zêta de Riemann.

Autre objet d’étude prégnant en lien avec les nombres premiers : les fonctions L de Dirichlet. Son exemple le plus connu est la fonction zêta de Riemann, au cœur d’une conjecture irrésolue depuis 1859. De par sa variété de méthodes et de problèmes, la théorie des nombres s’enrichit de contributions de tous horizons. Ainsi, le physicien Freeman Dyson et le mathématicien Hugh Montgomery ont découvert un lien entre physique nucléaire et théorie des nombres dans les années 1970, qui promet une meilleure compréhension des fonctions L.

Avancées collectives

Au quotidien, à défaut de s’attaquer frontalement à ces problèmes souvent très difficiles, les mathématiciens cherchent à les simplifier. « Des modèles probabilistes se basant sur des analogies se développent de plus en plus ces dernières années », remarque Cécile Dartyge. Cela consiste, par exemple, à appliquer ce qui est connu du comportement des entiers en général à d’autres entiers particuliers comme ceux dits « friables » (se décomposant en de nombreux facteurs premiers).

Une chose est sûre : dans le domaine de la théorie des nombres, les avancées sont souvent collectives, comme le prouvent les résultats du projet Polymath qui promeut depuis 2009 la résolution collective de questions mathématiques via une plateforme en ligne de science ouverte.

Nombres et géométrie

Les nombres ne sont pas les seuls à faire progresser les mathématiciens. Dans les années 1980, l’Allemand Gerd Faltings a utilisé divers outils, dont la géométrie, pour démontrer une importante conjecture en théorie des nombres, la conjecture de Mordell. Peut-être vous demandez-vous quel est le rapport entre les nombres et la géométrie ? En apparence bien distincts, ces deux piliers des mathématiques sont en réalité unis par la magie des équations. Ainsi, lorsque vous visualisez une droite, vous ne l’associez pas forcément à la formule y=ax+b. Pourtant, chaque objet mathématique, du cercle à la sphère, est à la fois une forme et une équation.

« En géométrie arithmétique ou dio­phan­tienne, nous étudions un système d’équations à plusieurs variables en l’associant à l’objet géométrique qu’il décrit et qu’on appelle variété. On veut ensuite déterminer s’il y a des solutions, donc des points aux coordonnées rationnelles ou entières, sur la variété, combien, et comment ils sont répartis », explique Sara Checcoli. Un exemple de variété largement étudié ? Les courbes elliptiques. Leur nom dérive de leur ancienne utilisation pour mesurer la longueur des orbites planétaires. En un mot, la ­géométrie arithmétique revient à faire de la théorie des nombres avec les formes !

Triangulation quasi-aléatoire d'une sphère.
Triangulation quasi-aléatoire d'une sphère.

Alors au XXIe siècle, quels problèmes un géomètre en théorie des nombres aborde-t-il ? La plupart des chercheurs tournent autour de conjectures qu’ils attaquent à l’aide de cas particuliers. Ces questions, plus petites, sont aussi plus faciles à résoudre. Un travail qu’Antoine Chambert-Loir compare à « une vache folle au milieu d’un champ ». « Nous essayons progressivement de limiter les bordures du champ pour réduire son enclos. Peut-être parviendrons-nous à l’attraper, ou alors nous nous rendrons compte que nous avons trop approché la barrière et elle finira par sauter par-dessus », s’amuse-t-il.

Autre particularité de ces dernières décennies, les ordinateurs ont permis de s’acquitter des limites du calcul à la main. Néanmoins, leur utilisation pose de nouvelles questions de formalisation des problèmes. L’étude algorithmique demande une approche plus effective.

La cryptographie, clé sécurisée

Si la finalité de la théorie des nombres est avant tout l’accroissement des connaissances, elle est également présente dans notre vie de tous les jours. Elle optimise par exemple le débit des bornes WiFi. Son application la plus connue concerne cependant la cryptographie. Depuis quarante ans, les algorithmes cryptographiques à clé publique utilisent la multiplication de grands nombres premiers pour générer une clé. C’est le cas du système RSA protégeant nos paiements en ligne. La robustesse de ce principe repose sur l’utilisation de nombres ayant plus de 400 chiffres. Des nombres donc largement supérieurs au nombre de particules connues dans l’Univers ! Néanmoins, ce système a des limites.

Des études ont montré que 0,04 % des clés avaient un nombre premier en commun, ce qui entraîne des failles de sécurité. Or cette probabilité devrait être nulle, car il existe une infinité de nombres premiers. Il s’agit en fait d’un biais algorithmique, qui s’explique par des raisons économiques, stratégiques et en rien mathématiques : utiliser une infinité de nombres premiers signifierait que l’algorithme mettrait plus de temps à générer les codes et serait moins performant sur le marché par rapport à la concurrence. Le choix des nombres premiers par les programmeurs n’est donc pas idéal mais probabiliste. « Par ailleurs, si une entreprise utilisant RSA avec le niveau de sécurité standard veut doubler son niveau de sécurité, la taille des clés RSA doit être multipliée par 5. Cette augmentation n’est pas linéaire et dépend de la taille de la clé, et fait que cette méthode peut devenir incalculable pour les microcontrôleurs de cartes à puce », explique Philippe Elbaz-Vincent, mathématicien à l’Institut Fourier.

L’arithmétique à l’ère quantique

Un autre système s’abstrayant de ces contraintes utilise aussi la théorie des nombres : la cryptographie à base de courbes elliptiques. Cette méthode a été standardisée au début des années 2000. Les services de renseignement de la NSA, aux États-Unis, ont même soutenu son utilisation au sein de l’administration américaine. Aujourd’hui, elle est très répandue pour la sécurisation des systèmes embarqués. Présente dans nos consoles de jeux, elle sécurise aussi différentes blockchain comme celle du bitcoin. Ces méthodes cryptographiques sont donc robustes à des attaques menées depuis un ordinateur classique.

Cependant, le mathématicien américain Peter Shor a démontré qu’elles ne résisteraient pas à un ordinateur quantique. Alors à quoi pourrait donc ressembler la cryptographie post-quantique ?
En 2017, le National Institute of Standards in Technology a lancé une compétition internationale afin de proposer des solutions. À nouveau, la théorie des nombres s’impose avec, cette fois, la géométrie des nombres ou réseaux mathématiques. Ici, le défi consiste à localiser un ou plusieurs points avec des propriétés spécifiques dans un réseau de points uniformes. Un vrai casse-tête pour un ordinateur quantique lorsque l’espace en question est composé d’un grand nombre de dimensions.

Pour Philippe Elbaz-Vincent, la cryptographie complète le cercle vertueux de la théorie des nombres : « Elle apporte à son tour de nouvelles connaissances à cette branche des mathématiques via les progrès en algorithmique. Il est possible désormais d’entrevoir des calculs impossibles il y a trente ans. » À l’avenir, l’arithmétique aura encore de belles histoires à raconter.   

À lire sur notre site
À l’assaut des grandes conjectures mathématiques
Vers une cryptographie post-quantique

 

Notes
  • 1. Unité CNRS/Université Paris-Saclay.
  • 2. Unité CNRS/Sorbonne Université/Univ. de Paris.
  • 3. Unité CNRS/Université Grenoble-Alpes.
  • 4. Unité CNRS/Université de Lorraine.
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Auteur

Anaïs Culot

Après des études en environnement à l'Université Paul-Sabatier, à Toulouse, puis en journalisme scientifique à l'Université Paris-Diderot, à Paris, Anaïs Culot a été attachée de presse au CNRS et collabore à présent avec différents magazines, dont CNRS Le Journal, I'MTech et Science & Vie.

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