La mathématicienne chinoise Hong Wang, chercheuse au Laboratoire Alexander Grothendieck1 et professeure permanente à l’Institut des hautes études scientifiques (IHES), vient de recevoir la prestigieuse médaille Fields lors du Congrès international des mathématiciens, qui se tient à Philadelphie (États-Unis). Elle est récompensée pour la résolution de la conjecture de Kakeya en dimension 3 réalisée en binôme avec Joshua Zahl2. Les trois autres lauréats de la médaille Fields 2026 sont Yu Deng, John Pardon et Jacob Tsimerman.

Après une licence en mathématiques obtenue en 2011 à l’université de Biejing, la jeune Hong Wang s’envole vers d’autres horizons pour atterrir en France, à l’École polytechnique. Là, elle prend davantage goût aux maths, valide son master, puis part à nouveau – cette fois aux États-Unis, au légendaire Massachusetts Institute of Technology (MIT), où elle valide son doctorat en 2019.

C’est à cette époque, notamment grâce à son directeur de thèse, Larry Guth, que Hong Wang découvre la conjecture de Kakeya. De quoi s’agit-il ? Vincent Borrelli, mathématicien3 et maître de conférences à l’université Lyon 1 Claude Bernard, nous éclaire.

Quelle est l’origine de la conjecture de Kakeya ?

Vincent Borrelli Tout a commencé au début du siècle dernier, il y a près de 100 ans. Soichi Kakeya, un mathématicien japonais, s’est posé une question qui, de prime abord, pourrait paraître absurde, mais s’est révélée d’une profondeur inouïe : quelle est la plus petite surface du plan dans laquelle on peut faire tourner une aiguille, pour que celle-ci prenne toutes les directions possibles dans le plan ?

La forme géométrique qui vient immédiatement à l’esprit est celle du disque. Mais une exploration du problème montre que d’autres figures géométriques, plus économes, sont possibles. L’une d’entre elles, particulièrement prometteuse, finit par émerger – un triangle qui, au lieu d’avoir trois côtés droits, possède des côtés courbes, comme s’il avait suivi une cure d’amaigrissement. Ce type de triangle se nomme « deltoïde ». En passant ainsi d’un disque (dont le diamètre est égal à la longueur de l’aiguille) à une deltoïde, l’aire est divisée par deux.

Aiguille en rotation à l’intérieur d’une deltoïde (ensemble de Kakeya). À chaque étape de sa rotation, l’aiguille est en contact avec la courbe en trois points : à ses deux extrémités (en bleu) et un point de tangence (en noir). Le milieu de l’aiguille (en rouge) décrit un cercle de diamètre égal à la demi-longueur de l’aiguille.

Aiguille en rotation à l’intérieur d’une deltoïde (ensemble de Kakeya). À chaque étape de sa rotation, l’aiguille est en contact avec la courbe en trois points : à ses deux extrémités (en bleu) et un point de tangence (en noir). Le milieu de l’aiguille (en rouge) décrit un cercle de diamètre égal à la demi-longueur de l’aiguille.

Claudio Rocchini sur Wikimedia commons

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La communauté mathématique se convainc rapidement que cette deltoïde fournit LA solution au problème de Kakeya. Il ne reste donc plus qu’à en trouver une démonstration. Mais celle-ci résiste à toutes les tentatives, et c’est ainsi que le problème acquiert une renommée mondiale.

Pourtant – on s’en rendra compte rétrospectivement –, le problème avait déjà été résolu par Abram Besicovitch, un mathématicien russe contemporain de Soichi Kakeya. Et sa réponse est totalement inattendue : il n’y a pas de plus petite figure ! Précisément, il existe des formes géométriques planes permettant le retournement de l’aiguille avec des aires aussi petites que l’on souhaite. La barrière mentale qui a empêché nombre de scientifiques de trouver la solution au problème se trouvait dans l’énoncé même, lorsqu’il stipule qu’il doit exister « une aire minimale ».

Besicovitch va même plus loin. Si l’on ne s’intéresse plus au mouvement de l’aiguille, il montre qu’il existe des formes géométriques planes avec une aire nulle (égale à 0) qui sont encore capables de contenir l’aiguille dans toutes les directions du plan. Ces formes géométriques invraisemblables sont désormais appelées « ensembles de Besicovitch ».

Comment construit-on des objets plans d’aire nulle ?

V. B. C’est là que réside tout le problème de Kakeya. Et c’est aussi à partir de ce moment que le problème de Kakeya se transforme en un problème purement géométrique – alors qu’à son origine, il avait une composante dynamique, cinétique.

Oublions l’aiguille de Kakeya un instant et construisons un objet d’aire nulle. Partons d’un triangle plein, qui a évidemment une aire non nulle. On lui enlève en son centre un triangle renversé. Il reste ainsi trois triangles plus petits dans les coins du triangle initial. On vient d’un coup de diminuer son aire. Répétons la manœuvre indéfiniment. Ce faisant, on peut démontrer mathématiquement qu’à l’infini il restera toujours quelque chose de la forme initiale. La figure obtenue à la limite s’appelle le triangle de Sierpinski.

Suite de figures dont l’aire s’amenuise par évidements successifs, jusqu’à son annulation. On peut fabriquer toutes sortes d’objets dont l’aire vaut 0, comme celui-ci, formé à partir du triangle.

Suite de figures dont l’aire s’amenuise par évidements successifs, jusqu’à son annulation. On peut fabriquer toutes sortes d’objets dont l’aire vaut 0, comme celui-ci, formé à partir du triangle.

ENS Éditions 2014 / Vincent Borrelli et Jean-Luc Rullière

ENS Éditions 2014 / Vincent Borrelli et Jean-Luc Rullière

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C’est une figure fractale. Il en existe une multitude d’autres, comme le flocon de Koch, l’empilement d’Apollonius ou encore la courbe du dragon. Bien que ces objets aient une aire égale exactement à 0, on arrive tout de même à les hiérarchiser entre eux grâce à leur « épaisseur » apparente. En effet, certains sont visuellement plus fins que d’autres.

En mathématiques, il existe un nombre pour mesurer cette épaisseur apparente que l’on appelle la « dimension fractale ». Un objet de dimension 1 peut être pensé comme une droite ou une courbe ; un objet de dimension 2, comme une surface. Les objets que je viens d’évoquer ont une dimension intermédiaire entre 1 et 2 selon leur épaisseur apparente – proche de 1 s’ils ressemblent à des courbes, proche de 2 s’ils s’étalent comme des surfaces.

Revenons au problème de Kakeya. Puisque l’on peut trouver des figures d’aire nulle qui contiennent l’aiguille dans toutes les directions, une nouvelle question émerge : quelle est la dimension fractale de telles figures ? Peut-on construire un ensemble de Besicovitch si fin que sa dimension fractale soit plus petite que 2 ? La question a été résolue en 1971 par Roy Davies, et la réponse est non.

Si les solutions au problème de Kakeya ont été trouvées il y a longtemps, quels travaux récompense la médaille Fields ?

V. B. Évidemment, la question de Kakeya s’étend à la troisième dimension. Il s’agit alors de chercher les ensembles qui contiennent l’aiguille dans toutes les directions de l’espace et dont la dimension fractale est la plus petite possible.

Depuis les travaux de Davies, la communauté mathématique est persuadée que cette dimension fractale ne pourra pas être plus petite que 3, sans être capable d’en trouver une démonstration ou une réfutation – c’est la conjecture de Kakeya. Hong Wang et son collègue Joshua Zahl ont justement résolu cette conjecture.

L’aire de ces six objets – qui vaut 0 – ne permet pas de rendre compte de leur différence de densité. Pour matérialiser cette impression visuelle, on parle de « dimension fractale ». L’objet de dimension proche de 1 est filiforme ; proche de 2, c’est une surface.

L’aire de ces six objets – qui vaut 0 – ne permet pas de rendre compte de leur différence de densité. Pour matérialiser cette impression visuelle, on parle de « dimension fractale ». L’objet de dimension proche de 1 est filiforme ; proche de 2, c’est une surface.

ENS Éditions 2014 / Vincent Borrelli et Jean-Luc Rullière

ENS Éditions 2014 / Vincent Borrelli et Jean-Luc Rullière

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Bien que le second article4 (de 127 pages, Ndlr) n’ait pas encore été validé par la communauté, l’ensemble des spécialistes s’accordent pour reconnaître le travail remarquable et novateur du binôme Wang et Zahl. Leurs travaux viennent couronner plusieurs décennies d’effort ponctuées d’avancées successives dues à Jean Bourgain, Thomas Wolff, Nets Katz, Izabella Laba et Terence Tao, Larry Guth, et j’en oublie.

Le point de départ est le suivant : supposons qu’il existe un ensemble de Besicovitch extrémal, c’est-à-dire dont la dimension fractale est plus petite que 3. Quelles seraient ses propriétés géométriques ? Tout l’enjeu est de montrer que celles-ci doivent être très nombreuses et finalement contradictoires. Les deux articles révèlent le rôle clé joué par le « caractère adhérent » (la « stickiness » dans le jargon de la discipline) d’un tel ensemble. Cette propriété force l’invariance de sa géométrie à différentes échelles et permet d’aboutir à la contradiction recherchée.

La conjecture de Kakeya est reliée à d’autres conjectures ou questions importantes émanant de divers domaines mathématiques, en particulier l’analyse harmonique et la combinatoire arithmétique. Elle reste ouverte pour les dimensions supérieures à 3.

Au-delà de leur importance, les travaux de Wang et Zahl ouvrent de nombreuses perspectives et seront, sans aucun doute, à l’origine d’autres avancées. L’effet d’entraînement et le vent d’enthousiasme provoqués par la résolution d’une conjecture sont toujours très puissants.

À lire
En cheminant avec Kakeya – Voyage au cœur des mathématiques, Vincent Borrelli et Jean-Luc Rullière, 162 pages, ENS Éditions, 2014.

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